Seminar zum h-Kobordismus-Satz im WS 2011/12

Veranstaltungsnr. 51221

Universität Regensburg, Fakultät für Mathematik

Prof. Dr. Bernd Ammann, Prof. Dr. Roman Sauer, Nicolas Ginoux


Zeit und Ort :

S: Mo 10-12 im M102
Tutorium: Mo 16-18 im M122 oder nach Vereinbarung


Module: BSem, LGySem, MSem


Leistungspunkte: 6


Inhaltsangabe / Literatur / empfohlene Vorkenntnisse:

Inhalt:
Ein Bordismus ist eine (differenzierbare) kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand W, so dass ∂W die disjunkte Vereinigung von zwei Mannigfaltigkeiten M1 und M2 ist. Angenommen die Inklusionen M1 → W und M2 → W sind Homotopie-Äquivalenzen, wobei M1, M2 und W einfach zusammenhängend sind mit dim(W) ≥ 6. Der h-Kobordismus-Satz besagt, dass dann W diffeomorph zu einem Zylinder M1 x [0,1] ist. Das Hauptziel des Seminars ist es, diesen Satz zu beweisen.

Wir zeigen auch wichtige Anwendungen, unter anderem die Poincaré-Vermutung in höheren Dimensionen: Jede einfach zusammenhängende kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ohne Rand der Dimension n ≥ 5 mit der ganzzahligen Homologie einer Sphäre ist bereits homöomorph zu einer Sphäre. Man erhält sogar Diffeomorphie im Fall n=5 und n=6, aber es gibt Mannigfaltigkeiten die zwar homöomorph, aber nicht diffeomorph zu einer Sphäre der Dimension 7 sind.

Weitere interessante Anwendungen findet man im Kapitel 9 des Buches von Milnor Lectures on the h-cobordism theorem.

Eine der wichtigsten Methoden des Buches ist, Morse-Funktionen auf dem Bordismus zu vereinfachen. Derartige Techniken sind auch wichtig, um zum Beispiel zu zeigen, dass jede einfach zusammenhängende kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ohne Rand der Dimension n ≥ 5 genau dann eine riemannsche Metrik mit positiver Skalarkrümmung trägt, wenn es keine indextheoretische Obstruktion gibt.

Das Programm des Seminars wird zu knapp zwei Dritteln vom Beweis des h-Kobordismus-Satzes geprägt.

Link zur G.R.I.P.S.-Seite

Vom 25.-30. März 2012 findet ein Blockseminar im Rahmen des Graduiertenkollegs zum Thema "The Surgery exact sequence" statt. Der h-Kobordismus-Satz wird dort als "black box" genutzt werden. Im Rahmen des Blockseminars reicht es zwar die Aussage aber nicht den Beweis des h-Kobordismus-Satz zu verstehen. Dennoch ist das Seminar natürlich eine sehr gute Vorbereitung.

Literatur:

  • G.E. Bredon, Topology and geometry, Graduate Texts in Mathematics 139, Springer, 1993.
  • T. Bröcker, K. Jänich, Einführung in die Differentialtopologie, Springer, 1990.
  • A. Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002 (available here).
  • A. Hatcher, Vector bundles and K-theory, lecture notes, available here.
  • M.W. Hirsch, Differential topology, Graduate Texts in Mathematics 33, Springer, 1994.
  • M. Kervaire, J. Milnor, Groups of homotopy spheres I, Ann. of Math. (2) 77 (1963), 504-537.
  • A. Kosinski, Differential manifolds, Pure and Applied Mathematics 138, Academic Press, 1993.
  • W. Lück, A basic introduction to surgery theory, Topology of high-dimensional manifolds, no. 1, 2 (Trieste, 2001), 1-224, ICTP Lect. Notes 9, Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste, 2002 (available here).
  • H. Miller, Notes on cobordism, lecture notes, available here.
  • J. Milnor, On manifolds homeomorphic to the 7-sphere, Ann. of Math. (2) 64 (1956), 399-405.
  • J. Milnor, Morse theory, Princeton University Press, Princeton, 1963.
  • J. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, The University Press of Virginia, Charlottesville, 1965.
  • J. Milnor, Lectures on the h-cobordism theorem, Princeton University Press, Princeton, 1965.
  • J. Milnor, Differential topology forty-six years later, Notices Amer. Math. Soc. 58 (2011), no. 6, 804-809.
  • J. Milnor, J.D. Stasheff, Characteristic classes, Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974.

    Vorkenntnisse:
  • Differentialgeometrie I und II
  • Topologie I und II


    Anschlussveranstaltungen: Blockseminar über Chirurgie im Frühling (s.o.)


    Zielgruppen: Bachelor, Master, Lehramt Gymnasium


    Prüfungsbestandteile: Vortrag + aktive Teilnahme

    Termine und Dauer von Prüfung und erster Wiederholungsprüfung: entfallen

    Anmeldeverfahren und Termine zu den Prüfungsbestandteilen: entfallen


    Vortragsplan:

      Datum  
      Thema  
    		  Sprecher  
      17.10     Klassifizierende Räume und CW-Komplexe     Nicolas Ginoux  
      24.10     Thom-Isomorphismus, Gysin-Sequenz     Andreas Hermann  
      31.10     Charakteristische Klassen: Chern-, Pontrjagin- und Stiefel-Whitney-Klassen     Matthias Blank  
      7.11     Satz von Whitney, Homotopie und Isotopie     Francesca Diana 
      14.11     Die Pontrjagin-Thom Konstruktion und Kobordismus-Gruppen     Nicolas Ginoux  
      21.11     Elementare Kobordismen     Carolina Neira Jiménez 
      18.01     Ein Kürzungssatz    Manuel Streil  
      12.12     Ein stärkerer Kürzungssatz     Jan-Hendrik Treude  
      19.12     Kürzung in mittleren Dimensionen     Mihaela Pilca  
      9.01     Eliminierung in Dimension 0 und 1     Bernd Ammann 
      16.01     Anwendungen des h-Kobordismus-Satzes     Farid Madani 
      23.01     Die Gruppe der Homotopie-Sphären I     Nicolas Ginoux  
      30.01     Die Gruppe der Homotopie-Sphären II     Bernd Ammann  
      31.01     Die Gruppe der Homotopie-Sphären II (Fortsetzung)     Bernd Ammann  
      6.02     kein Vortrag     -  



    Nicolas Ginoux, 23.03.2012